2,500 años de temperamentos musicales
Diálogo entre el ser humano y la naturaleza
José Rodríguez Alvira
Temperamento mesotónico
El temperamento mesotónico descrito por Francis Salinas en De Musica Libri Septem (1577) usa terceras acústicamente justas (1.25). Además divide las terceras mayores en dos tonos de igual tamaño lo que da origen a su nombre (tono promedio o tono del medio).
Escala mayor de acuerdo al temperamento mesotónico
Partiendo de do, afinaremos una escala mayor de acuerdo al temperamento mesotónico. Comenzamos por el mi multiplicando la frecuencia del do por 1.25 (tamaño de la tercera mayor de acuerdo a la serie armónica):
El tono
Ahora debemos encontrar el re que divide esta tercera en dos tonos de igual tamaño, ¿cómo hacemos?
La operación matemática que nos permite encontrar el tamaño del tono es la raíz cuadrada. Sacando la raíz cuadrada del tamaño de la tercera mayor debemos obtener el tamaño del tono:
Veamos si es verdad:
La raíz cuadrada de 1.25 = 1.118033988749895. Este debe ser el tamaño del tono:
- Multiplicamos la frecuencia de do por el tamaño del tono para obtener re.
Re = 263 x 1.118033988749895 = 294.04 - Si ahora multiplicamos la frecuencia de re nuevamente por un tono debemos llegar a mi.
Mi = 294.04 x 1.118033988749895 = 328.75
Efectivamente llegamos al mi previamente calculado, lo que confirma que hemos calculado correctamente el tamaño del tono.
El semitono
Ahora necesitamos calcular el fa que está medio tono sobre el mi. Una octava se compone de 5 tonos y 2 semitonos. Partiendo de do tenemos 5 tonos: do a re, re a mi, mi a fa#, fa# a sol# y sol# a la#. Los dos semitonos nos llevan a la octava: la# a si y finalmente si a do.
Matemáticamente esto se expresa:
t * t * t * t * t * s * s (t = tono, s = semitono)
O más claro y conciso:
t5 * s2
Por lo tanto llegamos a esta fórmula (2 es el tamaño de la octava):
t5 * s2 = 2
Ya conocemos el tamaño del tono, por lo que podemos escribir:
Nuestro propósito es encontrar el valor del semitono (s). Para ello podemos dividir ambos lados de la ecuación por la raíz cuadrada de 1.25 elevado a la quinta potencia y nos quedamos solamente con s2 en el lado izquierdo:
Finalmente, sacando la raíz cuadrada de ambos lados obtenemos el tamaño del semitono:
El tamaño del semitono resulta entonces ser:
s = 1.06998448796228
Obtenemos finalmente nuestro fa:
328.75 x 1.06998448796228 = 352.18
El resto de la escala...
Ya podemos completar la escala. El sol está a un tono de fa por lo que llegamos multiplicando fa por el tamaño del tono. La está a una tercera mayor de fa y si está a una tercera mayor de sol, calculamos ambas notas usando el tamaño de la tercera:
Nuevos problemas...
El temperamento mesotónico fue efectivo mientras el número de tonalidades en uso era limitado. Cuando compositores barrocos empiezan a usar tonalidades menos comunes los problemas resultan evidentes. Escuchando el Preludio en la bemol mayor BWV 862 J. S. Bach de Bach tocado usando el temperamento mesotónico nos damos cuenta enseguida de los problemas:
El problema está relacionado a la quinta mesotónica que es más pequeña que la quinta acústica Si seguimos un ciclo de quintas mesotónicas hasta volver a llegar la nota de partida (do - sol -re ... fa - do), la última quinta sería demasiado grande. Esta última quinta que cierra el círculo recibe el nombre de quinta lobo.
Escuche la quinta mesotónica:
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